wpthemepostegraund

Пункт 7. Разложение чисел в цепные дроби

Пункт 7. Разложение чисел в цепные дроби.

Определение. Цепной (или, непрерывной) дробью называется выражение вида:

 1

(Бедные наборщики в докомпьютерные времена буквально стрелялись, когда им приходилось набирать в книжках подобные многоэтажные выражения.) Договоримся называть числа q 1 , q 2 ,…, q n ,… — неполными частными и считаем, что q 1 Î Z , а q 2 ,…, q n ,… Î N . Числа

d 1 = q 1 , d 2 , = q 1 +

1


q 2

, d 3 = q 1 +

1


q 2 +

1


q 3

, и т. д.

называются подходящими дробями цепной дроби a .

Цепная дробь может быть как конечной (содержащей конечное число дробных линий и неполных частных), так и бесконечной вниз и вправо (на юго-восток). В первом случае она, очевидно, представляет некоторое рациональное число, во втором случае — пока непонятно что она вообще из себя представляет, но ясно, что все ее подходящие дроби — рациональные числа.

Договоримся называть значением (или величиной) бесконечной цепной дроби предел бесконечной последовательности ее подходящих дробей:

a =

lim
n ®¥

d n

(пока без всякого доказательства существования этого предела).

Наша глобальная цель на следующую пару пунктов — доказательство основной теоремы о цепных дробях:

Теорема. Всякое действительное число может быть разложено в цепную дробь единственным образом, и всякая конечная или бесконечная цепная дробь имеет своим значением некоторое действительное число.

После доказательства этой теоремы можно будет смело сказать, что цепные дроби — это еще одна форма записи действительных чисел. Однако доказательство этой теоремы растянется у нас надолго. В процессе доказательства удобно будет вводить и исследовать новые понятия, складывать их в вашу копилку знаний (в височную и гипофизарную области головного мозга), изучать их свойства. Именно поэтому я не буду сейчас писать с новой строки сакраментальное слово » доказательство » и собирать под его шапкой все дальнейшее. Обойдемся без этого слова, помня, что пока весь последующий рассказ как раз и нацелен на доказательство основной теоремы о цепных дробях.

Пусть a Î R - действительное число, заключенное между двумя последовательными целыми числами: а £ a < а +1. Число а будем называть нижним целым числа a (это просто целая часть a ), а число а +1 — верхним целым. Обозначениями для нижнего и верхнего целого числа a пусть будут, соответственно, ë a û и é a ù .

Возьмем произвольное действительное число a Î R , q 1 = ë a û . Тогда a = q 1 + b 1 , 0 £ b 1 < 1, следовательно

a 1 =

1


b 1

> 1,  и   a = q 1 +

1


a 2

 .

Если, далее, a 1 - не целое, то снова:

q 2 = ë a 2 û ,    a 2 = q 2 + b 2 = q 2 +

1


a 3

,    a 3 >1,

 

и a = q 1 +

1


q 2 +

1


a 3

.

Продолжая этот процесс взятия нижних целых и переворачивания дробных частей, получим запись произвольного числа a Î R в виде цепной дроби. Изложенный процесс есть просто «лобовой» способ разложения произвольного числа в цепную дробь или, если угодно, наводящие соображения к доказательству основной теоремы.

Пример 1. Разложим в цепную дробь число a = Ö 2.

Имеем q 1 = ë Ö 2 û = 1, b 1 = Ö 2 — 1, т.е. a = 1 + ( Ö 2 — 1). Далее,

a 2 =

1


b 1

=

1


Ö 2 -1

=

Ö 2 + 1


1

= Ö 2 + 1,

q 2 = ë Ö 2 + 1 û = 2,    b 2 = Ö 2 — 1,

a = 1 +

1


2 +( Ö 2 -1)

.

Так как b 1 = b 2 , то нетрудно понять, что этот процесс зациклится и, если его не останавливать, то получится бесконечная цепная дробь:

 22

Все неполные частные в ней, начиная со второго, равны двойке.

Очевидно, что если a Î R - иррационально, то описанный выше процесс бесконечен, так как иначе, в случае остановки этого процесса, a оказалось бы равным конечной цепной дроби, т.е. рациональному числу. Значит, всякое иррациональное число если и можно, то можно представить только бесконечной цепной дробью. Забудем пока про иррациональные числа и окунемся в приятный мир рациональных.

Пусть a Î Q , a = a / b ; a , b Î Z , b > 0. Оказывается, что при этих условиях, указанный выше процесс разложения числа в цепную дробь всегда конечен и выполним с помощью достопочтенного и любимого нами алгоритма Евклида. Действительно, отдадим алгоритму числа a и b , и внимательно посмотрим, что получится.

a = bq 1 + r 1

     т.е.

a


b

= q 1 +

1


b / r 1

b = r 1 q 2 + r 2

     т.е.

b


r 1

= q 2 +

1


r 1 / r 2

r 1 = r 2 q 3 + r 3

     т.е.

r 1


r 2

= q 3 +

1


r 2 / r 3

. . . . . . .

r n -2 = r n -1 q n + r n

     т.е.

r n -2


r n -1

= q n +

1


r n -1 / r n

r n -1 = r n q n +1

     т.е.

r n -1


r n

= q n +1 .

Значит:

 3

где q 1 , q 2 ,…, q n +1 - как раз те самые неполные частные из алгоритма Евклида (вот откуда название этих чисел в цепных дробях). Таким образом, в случае рационального числа a / b , процесс разложения в цепную дробь конечен и дробь содержит не более b этажей. Наиболее одаренные читатели в этом месте уже поняли, что основная теорема о цепных дробях для рациональных чисел оказалась почти доказана (не доказали только единственность разложения, но она в случае конечных цепных дробей почти очевидна — приравняйте две цепных дроби и, рассуждая по индукции, получите, что у равных дробей совпадают все неполные частные).

Согласитесь, что горизонтальные дробные линии в начертании цепной дроби сильно напоминают рисунок 3 из пункта 4 — отрезки, которые рисовали древние греки на песке, да и связь алгоритма Евклида с цепными дробями непосредственная и, можно сказать, даже трогательно-интимная.

Пример 2. Этот пример заимствован мною из книги И. М. Виноградова «Основы теории чисел», ведь придумать самому такое дикое рациональное число практически невозможно. Итак: разложить 105/38 в цепную дробь.

Включаем алгоритм Евклида:

105 = 38 · 2 + 29
38 = 29 · 1 + 9
29 = 9 · 3 + 2
9 = 2 · 4 + 1
2 = 1 · 2

Неполные частные я специально подчеркнул потому, что теперь для написания ответа нужно аккуратно расположить их подряд на этажах цепной дроби перед знаками плюс:

 4

Вот и все. Потренируйтесь еще, пожалуйста, самостоятельно раскладывать числа в цепную дробь, прорешивая задачки к этому пункту, а я на этом пункт 7 заканчиваю.

Задачки

1 . Разложите в цепную дробь число a , если:а) a = 5391/3976;б) a = 10946/6765; *

в) a = 3;

г) a = 1+3/2;

д) a = log 2 3 (ограничьтесь нахождением пяти первых неполных частных).

2 . Вычислите для каждой цепной дроби из предыдущей задачи первые пять штук подходящих дробей d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 . Нарисуйте каждый раз на числовой оси число a и его подходящие дроби. Результаты наблюдений бережно сохраните в коре головного мозга.


* Это отношение двадцать первого числа Фибоначчи к двадцатому


Thanks: Ruliz