wpthemepostegraund

Задачи по теории вероятностей

Задачи по теории вероятностей

 

 

*. 10 гостей рассаживается случайным образом за круглым столом. Какова вероятность того, что некая пара окажется рядом ?

 

*. В лотерее N билетов, из них М выигрышных. Вы купили К билетов. Какова вероятность Вам выиграть?

 

1. В неполной перетасованной колоде 10 красных карт и 8 черных. Из колоды вынимают сразу пять карт. Найти вероятность р того,  что две из них будут красными, а три черными.

 

2. Из ящика, содержащего n перенумерованных изделий, наугад вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия. Найти вероятность того, что номера вынутых изделий будут идти по порядку: 1, 2, …, n.

 

3. Тот же ящик, что и в предыдущей задаче, но каждое изделие после вынимания вкладывается обратно и  перемешивается  с другими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет  записана  естественная последовательность номеров: 1, 2, … , n.

 

4. Из колоды карт (36 штук) случайным образом выбираются 6 карт.

a)       Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Сколько элементов оно содержит ?

b)      Найдите вероятность того, что в выбранном наборе будет только один туз.

 

5. М телеграмм случайным образом распределяются по N каналам связи (N > М). Найти вероятность события А:   А = (ни на один канал не придется больше одной телеграммы).

 

*. Из кучи монет 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 50 коп. берется горсть монет. Найти вероятность того, что сумма денег четная.

 

6. Имеются m частиц, каждая из которых может находиться с одной и той же вероятностью 1/N в каждой из N (N>m) ячеек. Найти вероятность того, что:

a)       в определенных n ячейках окажется по одной частице,

b)      в каких-то n ячейках окажется по одной частице.

 

7. Та же задача в статистике Бозе-Эйнштейна: частицы неразличимы.

 

8. Та же задача в статистике Ферми-Дирака: частицы неразличимы и в каждой ячейке не более 1 частицы.

 

*. Найти ошибку в доказательстве: Утверждение для любых А и В

Р (А) = Р (В)

Доказательство: А = А — В + В       В = В — А + А

A-B и B- не совместны ,      B-A и A- не совместны,

Р(А) = Р(А-В) + Р(В)             Р(В) = Р(В-А) + Р(А)

Р(А) > Р(В)                      Р(В) > Р(А),т. е.

Р(А) = Р(В)

 

9. Имеется 10 одинаковых карточек, на которых написаны цифры от 0 до 9. Эксперимент состоит в случайном выборе (без возвращения) трех карточек из этих 10.

a)       Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента, сколько элементов оно содержит ?

b)      Найдите вероятность того, что из выбранных цифр можно составить число, делящееся на 3, на 5.

 

10. По схеме случайного выбора с возвращением из 18 натуральных чисел выбираются 2 (х и у). Найти вероятность того, что:

a)       х*x — у*y — делится на 2

b)      х*x — у*y — делится на 3.

 

 

11. Два студента А и В поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у которого раньше выпадает пятерка. Начинает А.

a)       Опишите пространство элементарных исходов эксперимента по бросанию игральной кости до первого выпадания пятерки.

b)      Найдите вероятность того, что игра закончится при k-том бросании, до k-того бросания.

c)       Найдите вероятность того, что выиграет студент А.

 

 

12. N экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не  повторяются.  Экзаменующийся  может ответить только на m вопросов. Какова вероятность того,  что взятый экзаменующимся билет состоит из подготовленных им вопросов?

 

13. В ящике находятся однотипные изделия, изготовленные разными заводами; из них 6 изделий изготовлены заводом 1, 10 изделий — заводом 2, 14 изделий — заводом 3. Из ящика вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия и отмечают места их изготовления. Найти вероятность того, что при этом изделие  завода 2 появится раньше, чем изделие завода 1.

 

14. Обрабатываемые на станке детали сортируются  по  размерам на две группы. Каждая очередная деталь независимо от предыдущих с равными вероятностями попадает в первую или вторую группу. Пусть в начале смены для каждой группы деталей  приготовлено по ящику емкости b. Какова вероятность того,  что в  момент, когда очередную деталь будет некуда класть, в другом ящике будет m деталей?

 

15. В группе 25 человек. Какова вероятность того, что хоть у кого-то совпадают дни рождения.

 

16. Вывести общую формулу вероятности суммы (объединения) n произвольных событий и с ее помощью решить задачу:  Секретарь пишет 5 писем и раскладывает их произвольным образом в 5 заранее подписанных конвертов. Какова вероятность того, что хоть одно письмо попадет нужному адресату ?

 

 

17. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик  с одинаковой  вероятностью 1/4 попадает в каждую ячейку. Найти вероятность того, что шарики попадут  в соседние ячейки.

 

18. Из множества чисел {1, 2, …, n} по схеме случайного выбора без возвращения выбираются три числа. найти условную вероятность того, что третье число попадет в интервал, образованный первыми двумя,  если известно,  что первое число  меньше второго

 

19. Имеется 4 ящика (1, 2, 3, 4) и три цветных шарика. Эксперимент состоит в случайном распределении шариков по ящикам

a)       Опишите  пространство элементарных исходов этого эксперимента. Сколько элементов оно содержит ?

b)      Найдите вероятность того, что один из ящиков содержит ровно два шара.

 

20. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью Р. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо  от других. Найти вероятность того, что при n циклах объект будет обнаружен.

 

21. Игральную кость бросают до тех пор, пока впервые не выпадет меньше пяти очков. Какова вероятность получить при последнем бросании не меньше двух очков ?

 

22. Производятся независимые испытания, в каждом из которых с вероятностью p может произойти некоторое событие А. Испытания производятся до первого появления события А; общее число испытаний не превосходит m.  Определить среднее число произведенных испытаний.

 

23. Решите задачу 19, если ящиков только 3.

 

*. В ящике лежат красные и черные носки. Если из ящика наудачу вытягиваются два носка, то вероятность того, что оба они красные, равна 1/2. Каково минимально возможное число носков в ящике ?

 

 

24. Два судна могут подойти к причалу в любое время в течение суток независимо. На причале одно место для разгрузки. Разгрузка длится 2 часа. Какова вероятность событий:

a)       Первое судно придет раньше второго.

b)      Ни одно судно не будет ожидать разгрузки.

c)       Первое судно будет ожидать разгрузки не более 6 часов.

 

25. Найти вероятность того, что корни уравнения х*x — 2*b*х+с вещественны, если коэффициенты b и с любые числа, но по абсолютной величине не превышают некоторого числа В.

 

 

26. Отрезок [0, а] случайной точкой делится на две части, из которых случайно выбирается одна часть. Обозначим b длину выбранной.  Найти Р {b <= c }, 0 <= c <=a, предполагая, что  координата случайной точки равномерно распределена на отрезке [0, а] и вероятности выбора любой из полученных частей отрезка одинаковы.

 

 

*. Стол разграфлен параллельными линиями, расстояние между которыми а, на стол бросается монета. Найти вероятность события: монета упадет гербом вверх или упадет вверх «решкой», но не пересечет ни одну из линий.

 

*. Если хорда выбирается наудачу в заданном круге, то какова вероятность того, что ее длина больше радиуса круга ?

 

28. Стеклянный стержень длиной L = 1 м ломается случайным образом    на 3 части. Найти вероятность того, что из обломков можно составить треугольник.

 

29. В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленную на однодюймовые квадраты. Если монета (3/4 дюйма в диаметре) попадает полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду,  в противном случае он теряет  свою  монету.  Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол ?

 

 

30. Случайные величины х, у распределены равномерно в интервале 0, 1 и независимы.

a)       Какова вероятность того, что х+у > 0,5 ?

b)      Какова вероятность того, что х-у > 0,5 ?

c)       Построить F(х+у), Р(х+у).

d)      Построить F(х-у), Р(х-у).

 

31. Случайная точка А имеет равномерное распределение в квадрате со стороной а(мм). Найти вероятность того, что расстояние от А до ближайшей стороны квадрата меньше,  чем расстояние  от А  до ближайшей диагонали квадрата.

 

32. Плоскость разграфлена параллельными прямыми на расстоянии А друг от друга. На плоскость наугад бросается игла (отрезок) длины l < А. Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь из прямых.

 

33. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна  p. Вероятность принять здорового человека за больного равна q.  Пусть доля больных туберкулезом  по отношению  ко всему  населению равна x. Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

 

34. В неполной перетасованной колоде 10 красных карт и 8 черных. Из колоды вынимают  карты по одной и выкладывают на стол. Найти вероятность р того, что в какой-то момент число вынутых красных карт станет равно числу вынутых черных ?

 

*.  А, В и С сходятся для трехсторонней дуэли. известно, что для А вероятность попасть в цель равна 0,3, для С — 0,5, а В стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет А, затем В, дальше С и т.д. в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один человек не останется невредимым. Какой должна быть стратегия А?

 

35. Разрыв электрической цепи происходит в том случае,  когда выходит из строя хотя бы один из двух последовательно соединенных элементов( x, y) или одновременно оба паралельных сопротивления (p, q) . Определить вероятность того, что не будет разрыв цепи, если элементы выходят из строя с вероятностями ,указанными ниже.

 

36. В жюри из трех человек два члена  независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для вынесения решения  бросает монету  (окончательное решение выносится большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью р. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью ?

 

37. Человек стоит в одном шаге от обрыва и делает шаги к обрыву и от него следующим образом: с вероятностью Р к обрыву и с вероятностью (1-Р) = q от него. Найти вероятность того, что он когда-нибудь упадет.

 

 

38. В первой урне находятся a белыx и b черных шаров, а во второй — n белых  и m черных  шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну.  Найти  вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.

 

39. На первом курсе в первой группе 25 студентов, из них 2 стипендиата предприятия; во второй 16 студентов, из них 5 стипендиатов. Наудачу выбран  1 студент. Какова вероятность того, что он стипендиат предприятия ?  Какова вероятность того, что он из 1 группы, если оказалось, что он стипендиат предприятия ?

 

40. В задаче 16 положить, что общее число писем n и конвертов n. Каково среднее число писем, попавших к адресатам.

 

41. Баллон наполнен смесью неона (30%) и гелия (70%). Температура газа 300 К. Какова средняя скорость атома в баллоне ?  (Газ считать идеальным).

 

 

42. Пользуясь определением Мх и Dх, вычислить Мх и Dх

a)       для случайной величины, распределенной равномерно в интервале (а,b);

b)      для случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром а;

c)       для случайных величин, плотность  распределения  которых представлена на графике

Р

|*

|   *

|      *

|         *

——————-Х

А

d)      для случайной величины, распределенной по закону Бернулли с параметрами р, n.

 

 

43. Два студента А и В поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у которого раньше выпадает пятерка. Начинает А.

a)       Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равной числу бросаний кости до окончания игры.

b)      Найдите вероятность того, что игра закончится при одиннадцатом бросании, если известно, что выиграл студент А.

 

44. При записи программы на неисправном накопителе появляется в среднем 4 ошибки.

a)       Какова вероятность безошибочной записи ?

b)      Какова вероятность записи с 4 ошибками ?

c)       Сколько раз в среднем надо записывать программу, чтобы получить безошибочную запись ?

 

45. Частица движется в разреженном газе, вероятность ее столкновения на пути dl с другой частицей р = Nqdl, где N – концентрация частиц в газе, q — сечение столкновения. Найти  среднюю длину свободного пробега.

 

46. Найти вероятность того, что ближайшая частица  находится  от данной в некоторый момент времени на расстоянии от R до R+dR. Концентрация частиц N.

 

47. Случайная величина распределена нормально с дисперсией 25 и средним 2. Найти вероятность того, что она примет значение в интервале (0, 4).

 

48. Найти вероятность того, что среднее арифметическое 5 независимых случайных величин, каждая из которых распределена нормально с параметрами Мх=1, Dх=4, лежит в интервале (0.5, 1.5).

 

49. Две точки брошены наугад на отрезок 0,L. Найти F(r), Р(r), M(r), D(r), где r — расстояние между точками.

 

*. Построить характеристическую функцию случайной величины, распределенной по закону Пуассона, и показать, что сумма независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона, имеет тоже пуассоновское распределение.

 

 

50. Случайная величина «х» распределена равномерно в интервале (0,1). Найти вероятность того, что среднее арифметическое 100 значений этой величины лежит в интервале (0,50 + 0,01).

 

51. В цехе 40 станков. Каждый в среднем дает 1 сбой в час. Найти вероятность того, что общее число сбоев за смену не превысит 300. (Сбои считать независимыми).

 

52. Найти вероятность того, что при 600 бросаниях 2-х костей число выпаданий 12 очков будет не более 17.

 

53. Для постройки здания нужно забить в землю не менее 300 свай на глубину 5 м. Если свая на меньшей глубине натыкается на камень, ее спиливают и в число несущих свай она не входит. Вероятность «встретить» такой камень в толще земли глубиной dх  р = NSdx, где N — концентрация камней, S — «сечение» камня.

a)       Сколько нужно заготовить свай, чтобы с вероятностью 0,95 их  хватило на постройку здания, если N=0.1 м , S=2 м ?

b)      Заготовлено 1000 свай. Сколько свай в среднем удается забить при тех же N, S ?

 

54. Автобусы N 7 и N 6 могут появиться на остановке равновероятно в любой момент от 8.00 до 8.10 независимо друг от друга. Каков наиболее вероятный интервал времени между появлением автобусов на остановке ?

 

55. В поселке n жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в m дней (поезд ходит раз в сутки, в месяце 30 дней) ?

 

56. Вероятность  хотя  бы одного попадания в цель при n выстрелах равна p. Найти вероятность того, что:

a)       при четырех выстрелах будет три попадания;

b)      ни одного попадания  p=0.75    n=2

 

 

57. Случайная величина х подчинена показательному закону распределения с параметром a.

Р(х) = c*еxp(-a*x)            при х > 0,

P(x) =0                       при х <=0.

a)       найти с;

b)      найти функцию распределения F(х) ;

c)       найти Mx,

d)      найти вероятность того, что случайная величина х примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание.

 

58. Рассматривается пуассоновское поле точек на плоскости с постоянной плотностью b. Найти закон распределения расстояния R от любой точки поля ближайшей к ней соседней точки.

 

59. В пространстве трех измерений случайным образом расположены точки. Число точек в некотором объеме  b  пространства есть случайная величина, подчиненная закону Пуассона с математическим ожиданием а = b*n, где n- среднее число точек, находящихся в единичном объеме. Требуется найти закон распределения расстояния R от любой точки пространства до ближайшей к ней случайной точки.

 

*. В ансамбле систем, находящихся в термодинамическом равновесии,  в термостате с температурой Т плотность распределения энергии отдельной системы имеет вид

Р(Е) = С * ехр(-Е/кТ)

Найти:

a)       константу С

b)      среднюю энергию системы (МЕ)

c)       величину флуктуаций энергии (DE).

d)      Доказать, что DE = k*T*T*d(МЕ)/dT

60. Из хорошо перетасованной колоды (52 карты) на стол последовательно выкладываются карты лицевой стороной наверх, после чего аналогичным образом выкладывается вторая колода, так что каждая карта первой колоды лежит под картой из второй колоды. Каково среднее число совпадений нижней и верхней карт ?  Каково среднее число совпадений    масти нижней и верхней карт ?

 

 

61. В страховом обществе застраховано n человек одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти для каждого лица равна p. Каждый застрахованный  вносит 1-го  января 1 тыс.р. рублей, и в случае его смерти родственники получают от общества b  тыс. р. рублей. Найдите вероятность того, что

a)       общество потерпит убытки;

b)      общество получит прибыль, не меньшую, чем  c тыс. рублей.

 

62. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p. Производится n независимых выстрелов. Укажите промежуток, в котором с вероятностью 0.95 будет находиться число попаданий.

 

63. Производится n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события А равна p. Чему равна вероятность того, что частота наступления события А отклонится от его вероятности не более чем на q ?

 

64. Известно, что вероятность выпуска бракованного сверла равна p. Сколько сверл нужно класть в коробку, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, в ней было не менее n исправных ?

 

65. Пусть х и у — независимые нормальные случайные величины, имеющие средние 1 и дисперсии c.

a)       Докажите, что случайная величина z=а*х + b*у — также нормальная случайная величина и найдите ее числовые характеристики.

b)      То же для величины q=a*x-b*y.

 

 

66. Газета публикует номера шаров, выпавших в очередном тираже «Спортлото 6 и 49″ в возрастающем порядке. Пусть Х- номер, начинающий «счастливую» шестерку, а У- наибольший из выигравших номеров. Найдите законы распределения Х и У, их средние и дисперсии.

 

*. В лоторее 1000  билетов,из них 9 выигрышных. Цена билета 1000 рублей. Выигрыш 100 000 рублей. Сколько билетов надо купить чтобы Ваш средний доход  был максимален ?

 

 

67. Известно, что вероятность выпуска бракованной детали равна p. Детали упаковываются в ящики по n штук. Найдите вероятность того, что

a)       в случайно взятом ящике не окажется бракованных деталей,

b)      число бракованных деталей в ящике не превысит 1 штуки.

Сколько деталей следует добавить в каждый ящик, чтобы в нем с вероятностью, не меньшей 0,99 было не менее n исправных ?

 

68. Имеется 3 ящика (1,2,3,) и три одинаковых шарика. Эксперимент состоит в случайном распределении шариков по ящикам.

a)       Найдите вероятность того, что один  из ящиков  содержит ровно два шара.

b)      Пусть х — число занятых ящиков, у — число шариков в ящике 1. Найдите законы распределения случайных величин х и у и вектора (х, у).

c)       Найдите Мх, Му, Дх, Ду.

d)      Найдите Соvху. Являются ли х и у независимыми случайными величинами ?

 

69. Бросают 2 кости.  Постройте  закон распределения и ковариационную матрицу вектора (х, у), где х — число очков на первой кости, у -сумма очков  на первой и второй кости .

*. Игроки А и В играют в «монету» следующим образом: монета бросается до тех пор, пока не появится выбранная одним из них комбинация из двух результатов. Например А ставит на «два орла», а В — на «орел, решка». Тогда А выигрывает, если бросания имеют результаты: РОО, или РРОО, или ОО и т.п.; а В выигрывает РРОР, или ОР, или РОР, или РРРОР и т.д. Равновероятны ли шансы игроков на выигрыш ?  Зависит ли вероятность выигрыша от выбранной комбинации ?

 

70. Ниже приводится закон распределения случайного вектора х, у.

a)       Заполните пустую клеточку.

b)      Постройте ковариационную матрицу х, у.

c)       Являются ли х, у независимыми ?

d)      Найдите Mx, My, Dx, Dy,также условную вероятность Р {x= 1/y<2}.

e)       Найдите Р{(y+ x)<2}.

\  у |      |      |      |

\   |  0   |  1   |  2   |

х   \ |      |      |      |

—————————-

0    | 1/8  | 1/8  |      |

—————————-

1    |  0   | 1/4  | 1/8  |

71. Два независимых, различных генератора генерируют каждый  с вероятностью p «0″ или с вероятностью 1-p «1″. Рассмотрим случайный вектор (х, у), где х — число, выданное первым генератором, у — сумма значений, выданных двумя генераторами (сумма обычная, т.е. 1 + 1 = 2). Постройте закон распределения вектора (х, у) и ковариационную матрицу (х, у).  Являются ли х и у независимыми ?

 

72. Бросают 2 кости.  Постройте ковариационную  матрицу вектора (х, у), где х — число очков на первой кости, у — на второй. Найдите условную вероятность события: сумма очков равна 7 при условии, что на первой кости 3 очка. Найдите закон распределения вектора  (z1,z2),z1=x+y,z2=x-y. Найдите Мz1,Mz2,Dz1,Dz2,Cov(z1,z1).

 

73. Эксперимент состоит в случайном выборе набора n карт из  колоды (36 карт).

a)       Пусть Х — число тузов, а У — черных карт среди выбранных. Найдите законы распределения Х и У.

b)      Найдите закон распределения вектора (Х,У). Являются ли Х и У независимыми случайными величинами ?

 

74. Эксперимент состоит в случайном выборе одной из костей домино из полного их набора.

a)       Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента, сколько элементов оно содержит ?

b)      Пусть х — максимальное из числа очков на выбранной кости, у — сумма очков на выбранной кости. Найдите законы распределения х и у.

c)       Найдите Mх, Mу, Dx, Dy.

d)      Являются ли х и у независимыми случайными величинами ?

 

75. Точка  (х,у)  выбирается случайным образом из треугольника с вершинами А(2,2), В(0,2), С(2,0). Найдите:

a)       Плотность распределения вектора (х, у).

b)      Плотности х и у.

c)       Функцию распределения вектора (х, у), функцию распределения х и функцию распределения у.

d)      Мх, Му, Дх, Ду.

e)       Соv(ху), являются ли х и у независимыми случайными величинами ?

 

 

76. Эксперимент состоит в одновременном бросании n правильных игральных костей.

a)       Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Сколько элементов оно содержит ?

b)      Найдите вероятность того, что по крайней мере на m костях выпадает четное число очков.

c)       Пусть Х — число выпавших пятерок, У — число костей с нечетным числом очков. Найдите законы распределения Х и У.

d)      Найдите Mx, My,  Dx,  Dy.

e)       Найдите закон распределения вектора  (Х,У).

f)       Найдите  cov(Х,У), являются ли Х и У независимыми случайными величинами ?

 

77. Имеется 4 ящика (1, 2, 3, 4) и три  шарика, эксперимент состоит в случайном распределении шариков по ящикам

Пусть х — число занятых ящиков, у — число шариков в ящике 1. Найдите законы распределения случайных величин х и у и вектора (х, у).

Найдите Мх, Му, Дх, Ду.

Найдите Cov ху. Являются ли х и у независимыми случайными величинами ?

 

78. Случайный вектор (Х, У) имеет плотность распределения A если х*x + у*y <= b*b

0 в противном случае. Найдите:

a)       значение  A;

b)      плотность Х и плотность У;

c)       значение функции распределения вектора (Х,У) в точках (a,b), (a,0); (0<a<b)

d)      Mx,My,Dx,Dy.

e)       Соv(x,y). Являются ли Х и У независимыми случайными величинами ?

 

79. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из квадрата |х| <=1; |у| <= 1. Пусть x и y — координаты выбранной точки.

a)       Найдите функцию распределения и плотность каждой из случайных величин x и y.

b)      Найдите Mx, My, Dx, Dy.

c)       Найдите совместное распределение x и y.

d)      Являются ли x и y независимыми случайными величинами ?

e)       Верно ли, что x+y и x-y  — независимые случайные величины ?

 

80. Плотность распределения случайного вектора (х, у): p(x,y) =   A* sin(х)* sin(у) при х принадлежит [0, Pi/2], у принадлежит[0,Pi/2]. 0 иначе

a)       Найдите A.

b)      Найдите MХ, MУ, ДХ, ДУ.

c)       Найдите Р(Х<У).

d)      Являются ли Х и У независимыми случайными величинами ?

 

81. Случайный вектор (x, y) имеет плотность p(x,y)= A*х*у  для точек внутри треугольника с вершинами А(0,a), В(a,a), С(a,0). (a>0). 0 для остальных точек плоскости. Найдите:

коэффициент A;

функцию распределения вектора (x, y);

плотность и функцию распределения каждой из случайных величин x и y.

Mx, My, Dx, Dy.

 

82. Плотность распределения случайного вектора (Х,У) равна p(х, у) =  A*|x|*|y|, если х*x + у*y <= 1, 0 в противном случае. Найдите:

a)       величину A;

b)      функцию распределения каждой из случайных величин х, у;

c)       Mх, Mу,   Dх,   Dу;

d)      Являются ли х и у независимыми случайными величинами ?

 

83. В урне находится 10 одинаковых шаров с номерами 1,2,…,10. Эксперимент состоит в случайном выборе без возвращения n шаров.

a)       Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Сколько элементов оно содержит ?

b)      Найдите вероятность того, что наибольший из номеров будет больше m.

c)       Пусть x — случайная величина, равная числу четных выбранных номеров, y- число номеров, делящихся на 3. Найдите законы распределения x и y, а также Mx,My, Dx, Dy.

d)      Найдите совместное распределение x и y.

e)       Являются ли x и y независимыми случайными величинами ?

 

84. Случайный вектор  (х, у)  имеет плотность  распределения р(х,у) = А ехр (- a*a*х*x +c*х*у — b*b*у*y ). Найдите:

a)       величину параметра А ?

b)      плотности x и у, Mx, My, Dx, Dy .

c)       Соv(х, у), являются ли  x  и  у  независимыми случайными величинам?


Thanks: Ruliz